Cuasicristales y Razón Aurea.

Cada año el anuncio de los premios Nobel causa admiración por uno o dos días. Hoy, estimado lector, trataremos de forma muy breve algunos aspectos interesantes acerca de la investigación galardonada con el mencionado premio en el área de química, otorgado al doctor Dan Shechtman.

Efímero e irrepetible copo de nieve

Pero para hablar de los cuasicristales tenemos que hablar de los panales de abeja. Bueno no exactamente de los panales, sino de la forma en que se estructuran. Una forma de aprovechar el espacio muy eficiente es llenarlo con las mismas figuras una y otra vez repitiendolas en serie como si se hicieran en una fábrica. Algunas estructuras naturales usan esta misma forma para llenar el espacio, como el grafito, que es una molécula de carbono como la que forma el carboncillo de los lapices; algunas cosas muy bellas cristalizan en esa forma, como los copos de nieve que también usan este sistema.

Sin embargo, no es la única forma de llenar el espacio con una sola figura, también se pueden usar
triángulos y cuadrados para lograrlo, como pueden ver en las figuras de la derecha. A esta forma de llenar el plano con figuras, se le llama teselación o enmosaicado ya que la palabra teselaviene de las pequeñas piezas de rocas de colores que usaban los romanos para confeccionar los murales de mosaicos llamados ars tesellatum.

Resulta que por mucho tiempo se pensó que las teselaciones podrían hacerse con grupos de simetría 3, 4 y 6 solamente. No se pueden usar pentágonos para cubrir el plano (pera eso se tienen que poder sumar los ángulos internos de una figura y que resulte exactamente 180°, en el caso del pentágono regular 108° no tiene múltiplos que den 180°).

Sin embargo en la década de los 70s el matemático ingles Roger Penrose investigo un conjunto de teselaciones que cumplían con la característica de estar formada por una simetría de orden 5 (aunque no con pentágonos exactamente); además no tener simetría traslacional, es decir que si trasladamos cualquier numero de piezas de un lado a otro nunca coincidirán con los originales, por lo cual es aperiodica. Dicho de otra forma, el número de diseños diferentes y combinaciones es infinito.

El mosaico de Penrose, en realidad son dos. Ambos conjuntos están formados por dos piezas. En el caso de la izquierda, les llamamos rombos gordos y rombos flacos y el de la derecha flechas y papalotes. La construcción geométrica de ambos está dada por la razón aurea. El valor de este número (al cual pienso dedicarle varias entradas, ya que es fascinante) es 1.618033… donde los tres puntos suspensivos implican que las cifras después del punto nunca terminan y tampoco tienen una repetición constante. A este número también se le llama phi, por el arquitecto Phideas quien estudió algunas de sus propiedades. Al igual que pi (3.141592…) es un número irracional.
En el caso de los rombos si el lado mide 1, el de arriba tiene un eje menor que mide 1/phi y el de abajo un eje mayor que mide exactamente 1+phi.
Por otro lado la flecha y papalote tienen también relaciones de ese tipo, un lado mide 1 y el otro 1+phi.

¿Y que con eso? Bien, aún hay más. Si en un mosaico de Penrose finito contamos cuantos papalotes y cuantas flechas hay y dividimos ambos números, el resultado es invariablemente cercano a 1.618033. De hecho cuando el area es infinita, el resultado es exactamente phi.

¿Suena bastante artificial? Parece serlo. Sin embargo, a mediados de los años 80s, un equipo lidereado por el mencionado Shechtman descubrió una estructura atómica que no cristalizaba de forma  normal, sino que se parecía más a una forma aperiodica de comportamiento. Abajo les pongo dos imágenes, una de un cuasicristal y la otra del mosaico de Penrose en la sala de Matemáticas del museo Universum. ¿Ven la similitud?

Estructura de un cuasicristal

Teselación de Penrose más o menos en los mismos colores

El mosaico en la sala de Mate de Universum

Se están buscando aplicaciones de los cuasicristales, como la creación de elementos en maquinaria que tengan menos rozamiento. Recientemente se encontraron cierto tipo de estas estructuras de forma natural en Rusia, lo cual supone algo impresionante ya que se descubre que la naturaleza puede fabricarlos bajo ciertas condiciones.

Aún así, con todo, me parece que es impresionante que un número como phi, pueda estar involucrado en un fenomeno tan extraño y con tantas oportunidades de ser investigado.

fuente: http://miradasconciencia.wordpress.com/2011/10/12/cuasicristales-y-razon-aurea/